ریاضی دهم صفحه 100 - تمرین 1
۱) کدامیک از روابط زیر یک تابع را معلوم میکند؟ توضیح دهید.
الف) رابطهای که به ضلع یک مربع، محیط مربع را نسبت میدهد.
ب) رابطهای که به هر فرد، دمای بدن او را در یک زمان معین نسبت میدهد.
ج) رابطهای که به هر فرد، گروه خونی او را نسبت میدهد.
د) رابطهای که به هر دانشآموز، دوستان او را نسبت میدهد.
هـ) رابطهای که به هر عدد، ریشههای دوم آن عدد را نسبت میدهد.
و) رابطهای که به هر عدد، ریشه سوم آن عدد را نسبت میدهد.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 100 - تمرین 1
سلام به شما دانشآموزان کوشا! برای تشخیص تابع بودن، باید بررسی کنیم که آیا به ازای هر ورودی، **دقیقاً یک خروجی** وجود دارد یا خیر. بیایید گزینهها را تحلیل کنیم:
* **الف) ضلع به محیط مربع:** این رابطه یک **تابع** است. فرمول محیط مربع برابر با $P=4a$ است؛ یعنی به ازای هر طول ضلع مشخص، فقط یک محیط واحد به دست میآید.
* **ب) فرد به دمای بدن:** این رابطه یک **تابع** است. زیرا هر انسان در یک لحظه و زمان معین، نمیتواند دو دمای بدن متفاوت داشته باشد.
* **ج) فرد به گروه خونی:** این رابطه یک **تابع** است. هر فرد تنها یک گروه خونی مشخص (مانند $A^+$ یا $O^-$) دارد.
* **د) دانشآموز به دوستان:** این رابطه **تابع نیست**. چون یک دانشآموز میتواند چندین دوست داشته باشد؛ یعنی یک ورودی به چندین خروجی متصل میشود.
* **هـ) عدد به ریشههای دوم:** این رابطه **تابع نیست**. برای مثال ریشههای دوم عدد $4$ برابر با $2$ و $-2$ است. وقتی یک عدد دو ریشه دوم دارد، یعنی یک ورودی به دو خروجی نسبت داده شده است.
* **و) عدد به ریشه سوم:** این رابطه یک **تابع** است. هر عدد حقیقی تنها و تنها یک ریشه سوم دارد.
ریاضی دهم صفحه 100 - تمرین 2
۲) مجموعههای $A=a, b, c$ و $B=1, 2$ داده شدهاند.
الف) به کمک نمودار پیکانی دو رابطه از A به B ارائه کنید که تابع باشند.
ب) دو رابطه ارائه کنید که تابع نباشند.
ج) چهار رابطه بهدست آمده را به کمک زوجهای مرتب و نمودار نمایش دهید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 100 - تمرین 2
در این تمرین میخواهیم با مجموعههای حروف و اعداد، مفهوم تابع را تمرین کنیم.
**الف) دو رابطه که تابع باشند:**
برای تابع بودن، از هر عضو مجموعه $A$ باید **دقیقاً یک پیکان** خارج شود.
1. رابطه اول: $f = (a, 1), (b, 1), (c, 2)$
2. رابطه دوم: $g = (a, 2), (b, 2), (c, 2)$ (تابع ثابت)
**ب) دو رابطه که تابع نباشند:**
در اینجا کافی است از یک عضو دو پیکان خارج کنیم یا عضوی را بدون پیکان رها کنیم.
1. رابطه سوم: $R_1 = (a, 1), (a, 2), (b, 1), (c, 2)$ (چون از $a$ دو پیکان خارج شده است)
2. رابطه چهارم: $R_2 = (a, 1), (b, 2)$ (چون عضو $c$ خروجی ندارد)
**ج) نمایش:**
برای نمایش نموداری، میتوانید اعضای $A$ را در یک بیضی و $B$ را در بیضی دیگر قرار داده و مطابق زوجهای مرتب بالا، پیکانها را رسم کنید.
ریاضی دهم صفحه 100 - تمرین 3
۳) کدامیک از مجموعههای زیر یک تابع است؟
$f = (2, 1), (3, -5), (3, 7)$
$g = (0, 1), (\frac{3}{5}, 1), (-5, 1), (8, 1)$
$h = (2, 3), (3, 2), (1, 1)$
$k = (2, 5)$
$r = (2, 0), (-7, 0)$
$l = (1, 2), (2, 4), (3, 6), \dots$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 100 - تمرین 3
یادآوری: در مجموعه زوجهای مرتب، اگر هیچ دو زوج مرتب متمایزی دارای **مولفه اول یکسان** نباشند، آن رابطه تابع است.
* **$f$:** **تابع نیست**. چون مولفه اول $3$ تکرار شده و به دو مقدار متفاوت $-5$ و $7$ نسبت داده شده است.
* **$g$:** **تابع است**. تمام مولفههای اول $0, \frac{3}{5}, -5, 8$ متفاوت هستند. (تکراری بودن مولفه دوم در تابع مشکلی ندارد).
* **$h$:** **تابع است**. مولفههای اول $2, 3, 1$ همگی متمایز هستند.
* **$k$:** **تابع است**. تنها یک زوج مرتب دارد، پس شرط نقض تابعیت را ندارد.
* **$r$:** **تابع است**. مولفههای اول $2$ و $-7$ متفاوتاند.
* **$l$:** **تابع است**. این رابطه همان $y=2x$ برای اعداد طبیعی است که به هر عدد، دقیقاً دو برابرش را نسبت میدهد.
ریاضی دهم صفحه 100 - تمرین 4
۴) A و B مجموعههایی غیرعددیاند، در شکل زیر در A و B اعضایی دلخواه بگذارید و یک تابع از A به B به کمک نمودار پیکانی ارائه کنید. سعی کنید لااقل سه تابع مختلف بنویسید. پاسخ خود را با پاسخ دوستانتان مقایسه کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 100 - تمرین 4
بیایید مجموعههای غیرعددی مثل میوهها یا رنگها را فرض کنیم.
فرض کنیم: $A = \{\text{سیب, موز, گیلاس}\}$ و $B = \{\text{قرمز, زرد}\}$.
* **تابع ۱:** سیب $\rightarrow$ قرمز، موز $\rightarrow$ زرد، گیلاس $\rightarrow$ قرمز. (این تابع بر اساس رنگ طبیعی میوههاست).
* **تابع ۲:** همه میوهها را به «قرمز» وصل کنید. (سیب $\rightarrow$ قرمز، موز $\rightarrow$ قرمز، گیلاس $\rightarrow$ قرمز). این یک **تابع ثابت** است.
* **تابع ۳:** سیب $\rightarrow$ زرد، موز $\rightarrow$ قرمز، گیلاس $\rightarrow$ زرد.
نکته مهم این است که در هر سه مورد، از هر میوه در مجموعه $A$ فقط یک پیکان خارج شده است.
